Raka akan membuat kotak tanpa tutup dari selembar karton membentuk persegi berukuran 12cm ^× 12cm . kotak tersebut dibuat dengan cara memotong ke 4 sudut karton

Pembahasan

Raka akan membuat kotak tanpa tutup dari selembar karton berbentuk persegi berukuran 12 cm. Kotak tersebut dibuat dengan cara memotong keempat sudut karton berbentuk persegi berukuran x cm. Jika Raka akan membuat kotak tersebut dengan volum maksimum, maka panjang x yang memenuhi adalah ...
A. 1,25 cm
B. 1,50 cm
C. 2,00 cm
D. 3,25 cm
E. 3,00 cm

Persoalan ini merupakan penerapan dari diferensial atau turunan, khususnya menentukan nilai maksimum suatu besaran dengan menggunakan keadaan stasioner dari fungsi yang ditanyakan. Pada kasus kali ini ditanyakan panjang x yang memenuhi agar tercapai volum kotak sebesar-besarnya.

Step-1
Membentuk fungsi volum kotak (balok)

Bahan karton berbentuk persegi dengan panjang sisi 12 cm kemudian dibuang keempat sudutnya yang masing-masing berbentuk persegi kecil dengan panjang sisi x cm.

Dimensi kotak setelah keempat sudutnya dipotong adalah
⇒ Panjang dan lebar kotak = (12 - 2x) cm
⇒ Tinggi kotak = x cm

Kotak merupakan bangun ruang berbentuk balok, sehingga fungsi volumnya adalah
⇔ [tex]V(x) = panjang \times lebar \times tinggi[/tex]
⇔ [tex]V(x) = (12 - 2x)(12 - 2x)(x)[/tex]
⇔ [tex]V(x) = (144 - 48x + 4x^2)x[/tex]
⇔ [tex]V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x[/tex]
Inilah fungsi volum yang akan diturunkan terhadap variabel x.

Step-2
Keadaan stasioner

Fungsi volum diturunkan terhadap variabel x dan berada dalam keadaan stasioner.

⇔ [tex]V(x) = 0[/tex]
⇔ [tex]12x^2 - 96x + 144 = 0[/tex]
Sederhanakan dengan dibagi 12
⇔ [tex]x^2 - 8x + 12 = 0[/tex]
⇔ (x - 2)(x - 6) = 0
Diperoleh x = 2 atau x = 6 yang langsung diuji tanda pada garis bilangan. Perhatikan pada gambar terlampir.

Syarat fungsi naik adalah V'(x) > 0, sehingga interval nilai x agar fungsi maksimum adalah x < 2 atau x > 6. 
Syarat fungsi turun adalah V'(x) < 0, sehingga interval nilai x agar fungsi minimum adalah 2 < x < 6.

Karena fungsi mencapai titik balik maksimum pada x = 2, maka nilai x yang menyebabkan volum kotak maksimum adalah x = 2.

Kesimpulan & Jawaban
Panjang x agar volum kotak maksimum adalah x = 2 cm. (Jawaban C)

Apabila ditanya volum kotak maksimum, substitusikan x ke dalam fungsi volum. Pilih fungsi volum yang cukup mudah yaitu V(x) = (12 - 2x)(12 - 2x)(x).
Volum maksimum V(4) = (8)(8)(2) = 128 cm³.

------------------------------
Simak persoalan mencari ongkos pembuatan agar tercapai luas kotak minimum
https://brainly.co.id/tugas/14502480
Ingin mempelajari kembali turunan trigonometri?
https://brainly.co.id/tugas/5686820
Kasus penggunaan konsep limit fungsi untuk menentukan gradien garis singgung
brainly.co.id/tugas/14268548
__________________

Kelas           : XI
Mapel          : Matematika
Kategori      : Turunan
Kata Kunci  : Raka, membuat, kotak, karton, tanpa, tutup, persegi, sudut, memotong, volum, maksimum, panjang, keadaan, stasioner

Kode : 11.2.8 [Kelas 11 Matematika Bab 8 - Turunan]